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Estudios Económicos

versión On-line ISSN 2525-1295

Estud. Econ. v.26 n.52 Bahía Blanca ene. 2009

 

Equilibrio general en economias con externalidades y conjuntos de produccion no convexos en un espacio de bienes de infinitas dimensiones*

Matías N. Fuentes

* El presente trabajo fue distinguido con el Premio Estudios Económicos 2009, correspondiente a la IV Edición del Congreso Nacional de Estudiantes de Posgrado en Economía, CNEPE. Forma parte de la tesis doctoral del autor en el programa de Doctorado en Economía Teórica de la Universidad Autónoma de Madrid. El autor desea agradecer los valiosos comentarios de los profesores Julio H. G. Olivera, Eduardo Rodríguez y Fernando Tohmé. Todos los errores y omisiones son de mi exclusiva responsabilidad. Con posterioridad a este artículo, el autor desarrolló el teorema aquí expuesto pero relajando varios supuestos lo cual ha implicado que la demostración sea diferente a la aquí desarrollada en algunos tramos de la misma, e-mail: matias.fuentes@unsam.edu.ar

Resumen
En este trabajo consideramos un modelo de equilibrio general con un espacio de bienes de dimensión infinita, con externalidades que condiciona tanto a los conjuntos de consumo y producción como así también a las preferencias. Estos conjuntos están representados por correspondencias, lo mismo que la conducta de los productores que generaliza a la usada en otros trabajos donde o bien no existen externalidades o bien el espacio de bienes es de dimensión finita. El espacio utilizado es el de las funciones medibles esencialmente acotadas L(M, M, μ) de modo que nuestros resultados extienden, entre otros, los trabajos de Bonnisseau (1997) y Bonnisseau-Meddeb (1999).

Clasificación JEL: D 51

Palabras clave: Equilibrio General; Externaliades; No Convexidades; Bienes Infinitos; Correspondencias

Abstract
In this paper we consider a general equilibrium model with an infinite dimensional commodity space, with externalities affecting to the consumer and producer sets and the preferences relations. All of these sets are represented by correspondences as well as the producers behavior which extends those used in others papers where there is no externalities or the commodity space is finite dimensional. The space actually used is the one of measurable functions essentially bounded L(M, M, μ) such that our results generalize, between others, the works of Bonnisseau (1997) and Bonnisseau-Meddeb (1999).

JEL Classification: D 51

Keywords: General Equilibrium; Externalities; Non Convexities; Infinitely Many Commodities; Set Valued Mappings

INTRODUCCION

El propósito del presente trabajo es probar la existencia de equilibrio general para una economía con un espacio de bienes de dimensión infinita, con conjuntos de producción no necesariamente convexos y con la presencia de externalidades que afectan tanto a productores como a consumidores. No debe extrañar esta asociación entre externalidades y no convexidades ya que comúnmente las primeras son causas de las últimas. A modo de ejemplo, citamos un caso tradicional en el que la polución inducida por una firma que tiene un efecto negativo en los consumidores y aún en los planes de producción de las otras firmas que utilizan al agua como un insumo. De modo más general, un efecto externo está definido por el hecho de que la producción de cada productor depende de las producciones de los otros productores así como del consumo de las familias. Con relación al efecto de las externalidades en el consumo de un agente, diremos que este depende de las producciones llevadas a cabo por las empresas y de la corriente de consumo de cada individuo.

Para el caso descrito anteriormente pero con espacio de bienes de dimensión finita, Bonnisseau (1997) y Bonnisseau y Médecin (2001) han obtenido importantes resultados. En el primero de ellos el autor trabaja con una correspondencia de tipo general que define el comportamiento de los productores. A dicha correspondencia se le asignan una serie de supuestos que permiten arribar a un vector de precios de equilibrio en la economía. Por su parte el trabajo de Bonnisseau y Médecin (2001) particulariza a la correspondencia general de Bonnisseau (1997) al considerar un concepto extendido del cono normal de Clarke (1983) en el que se incluyen las externalidades. La ventaja de mencionada particularización es que prescindimos de los supuestos relativos a la correspondencia que define a la conducta de los productores. En ambos trabajos, y como es común en la teoría del equilibrio general, la existencia de equilibrio es deducida a partir de la existencia de un punto fijo. También cada trabajo generaliza a otros en donde si bien se consideraron tecnologías no convexas, no se incorporaron al análisis las externalidades, así Bonnisseau (1997) extiende el estudio hecho por Bonnisseau-Cornet (1988), en tanto que Bonnisseau y Médecin (2001) generalizan a Bonnisseau y Cornet (1990).

Respecto del espacio de dimensión infinita para los bienes, Bonnisseau y Meddeb (1999) han extendido el trabajo de Bewley (1972) al permitir que los conjuntos sean no convexos. También aquí los autores consideran una correspondencia de tipo general que describe la conducta de los productores y han necesitado supuestos adicionales. Posteriormente Bonnisseau (2000) ha definido al "cono normal grande" en reemplazo de aquella correspondencia lo cual si bien redundó en una menor generalización, permitió excluir los supuestos asociados a dicha correspondencia. Ambos trabajos, aunque siguen la aproximación de Bewley de redes de economías finitas, requieren un tratamiento distinto ya que por las características de la economía original no se deduce un equilibrio en cada economía truncada (Bonnisseau y Meddeb, 1999) o bien este equilibrio existe pero a partir de un espacio de dimensión finita lo suficientemente grande (Bonnisseau, 2000).

El propósito de este trabajo es generalizar los trabajos de Bonnisseau (1997) y Bonnisseau y Meddeb (1999) y tener así un equilibrio, como ya se señaló, para una economía en la cual el espacio de bienes es de dimensión infinita, los conjuntos no son convexos y existen externalidades1. Esta generalización no es directa ni rutinaria, sino que la extensión de tales teoremas exige nuevos pasos y esquemas de demostración. Asimismo, a fin de ser consecuentes con la literatura, en caso de que el espacio sea de dimensión finita, nuestro modelo ha de derivar en el de Bonnisseau (1997) y si no existen externalidades en Bonnisseau y Meddeb (1999). Aquí también seguimos la aproximación de Bewley, sin embargo en cada subeconomía de dimensión finita no tendremos necesariamente un equilibrio sino solo a partir de una cierta dimensión (finita) lo suficientemente grande. El hecho de que los conjuntos no sean convexos y que existan externalidades, no permite una aplicación directa de los teoremas de existencia de equilibrio para ciertas dimensiones finitas.

El trabajo está organizado como sigue: En primer lugar describimos las características de la economía; el espacio de bienes, las externalidades, los precios, los conjuntos de consumo y de producción, la conducta de los productores y la definición de equilibrio general. En segundo término introducimos los supuestos en dicha economía que son suficientes para la existencia de equilibrio. Como la estrategia de demostración pasa por truncar las economías, eso lo hacemos en la sección III. Luego exponemos el teorema de existencia de equilibrio (teorema 4.1) y dos lemas (4.1 y 4.2) relacionados con la existencia de equilibrio en la economía auxiliar de dimensión finita. La sección V consiste en la demostración del teorema 4.1. Finalmente tenemos los apéndices: el apéndice A consiste en la demostración de los lemas 4.1 y 4.2, con lo que se completa la demostración de que a partir de una cierta dimensión finita cada economía auxiliar cumple con todas las condiciones de existencia de equilibrio de Bonnisseau (1997). Luego, en el apéndice B estudiamos los casos particulares a fin de ser consecuentes con la literatura sobre el tema y poner de manifiesto que el teorema 4.1 generaliza a varios otros en lo concerniente a la existencia de equilibrio; en efecto analizamos qué ocurre con nuestro modelo si (i) el espacio de bienes es de dimensión finita, (ii) si no existen externalidades o bien estas son fijas y (iii) si los conjuntos de producción son convexos. En el apéndice C exponemos algunas definiciones y resultados matemáticos utilizados en el presente trabajo.

I. MODELO DE LA ECONOMIA CON EXTERNALIDADES

Consideramos una economía con un espacio de bienes infinito dimensional y con una cantidad finita de agentes. Representaremos a dicho espacio por un espacio medida (M, M, μ) s-finito y positivo. De esta manera el flujo de bienes está definido por funciones medibles de valores reales esencialmente acotadas en (M, M, μ). Con estas prescripciones tenemos que el espacio de bienes está dado por L(M, M, μ). La conveniencia de considerar este espacio tanto desde el punto de vista económico como matemático pueden consultarse en Bewley (1972) y Mas-Colell y Zame (1991). En particular señalemos que el cono positivo de L(M, M, μ) tiene interior no vacío, de manera que los conjuntos de consumo, si este es el espacio de bienes, gozarán de la misma propiedad2. Tanto la definición y el análisis del espacio L(M, M, μ) como así también otros tópicos matemáticos utilizados en el presente trabajo están expuestos, sucintamente, en el apéndice C. En adelante escribiremos a L(M, M, m) simplemente como L.

Una externalidad se representa por toda acción de los agentes económicos, relacionados a actividades de consumo o de producción, que afecta o puede afectar el (buen) comportamiento del resto de los agentes por una vía directa, es decir sin mediar necesariamente los precios (véase, por caso Mas-Colell et al, 1995, pp. 352). En ese sentido, en el presente trabajo consideramos como externalidad al vector que define cualquier corriente de consumo de los m consumidores y la producción llevada a cabo por los n productores.

Este vector define, en la terminología de Debreu (1959), un estado de la economía. Pero tiene una connotación inmediata con el concepto de externalidad, pues cada actor se ve afectado por las decisiones del resto. Así tenemos que la externalidad o el ambiente que afecta al i-ésimo consumidor viene dado por:

Por su parte la externalidad o estado que condiciona el j-ésimo productor es

Con esto, decimos que las posibilidades de producción de un productor están representadas por una correspondencia5 Yj : Lm+n-1 → 2L\{∅}. Yj(z-j) es el conjunto de producción del j-ésimo productor cuando los planes de producción de los otros productores son y1, y2, ..., yj-1, yj+1, ..., yn y los planes de consumo son x1, x2,...y xm.

Del mismo modo las posibilidades de consumo que tiene el i-ésimo consumidor la formalizamos con una función de conjunto Xi de Lm+n-1 en L. Xi(z-i) es el conjunto de consumo para el ambiente z-i. Los gustos de los consumidores se describen por una relación de preferencias completa, reflexiva, transitiva y binaria, en el conjunto Xi(z-i). Sea xiXi(z-i), el conjunto de los elementos de Xi(z-i) estrictamente preferidos a xi es

No asumimos que un individuo pueda comparar dos corrientes de consumos xi y xi' si pertenecen a estados z-i y z'-i respectivamente y ambos son distintos.

Los precios los ubicamos en el conjunto S = 4, donde χM es la función de valor constante 1 para toda m en M. La riqueza del consumidor i la definimos por medio de la función compuesta , con . Es decir, se trata de la composición de dos funciones y . La función de riqueza es dicha composición. Esta captura la idea de la participación de los m consumidores en los dividendos de las empresas como así también incorpora la noción de economía de propiedad privada de Debreu (1959).

Definimos un estado débilmente eficiente5 de la economía por medio del siguiente vector de Lm+n :

La conducta del productor viene dada por una correspondencia .6 Dado un ambiente z Z y una producción débilmente eficiente es un nivel de precios aceptable para el productor j en yj si y solo si p ∈ φj(z). Notemos que esta correspondencia deja abierta la posibilidad a que ciertos productores sean precio aceptantes en tanto que otros sean formadores. Esto último es particularmente cierto en empresas monopólicas que presenten rendimientos crecientes a escala. En el caso de que el conjunto de producción sea convexo tendremos, como caso particular, la conducta maximizadora de beneficios φj(z) = .

Las correspondencias Xi e Yj fueron definidas sobre el espacio Lm+n-1. Pero puede ocurrir que ciertos planes xi e yj no sean posibles al mismo tiempo dado que esas acciones no son compatibles entre sí. Por este motivo definimos al conjunto de asignaciones compatibles débilmente eficientes como aquellos en donde la oferta agregada más la dotación inicial de bienes de cada consumidor alcanza para cubrir la demanda de todos ellos. Tenemos que dicho conjunto dado una dotación agregada inicial ∑i ωi = ω ∈ L+ es

Finalmente los conjuntos de producción de equilibrio (PE) y de producción de equilibrio factible débilmente eficiente (APE) son respectivamente

I. 1. Definición de equilibrio

es un equilibrio de la economía si:

  1. es un elemento maximal en el conjunto

II. SUPUESTOS DEL MODELO

En primer lugar consideramos a la topología σ(L, L* ) que es la topología más débil sobre L para la cual todos los elementos de L* son continuos. Dicha topología hace que el espacio topológico (L, σ(L, L* ) ) sea de Hausdorff (Ash, 1972, pp. 144). En el mismo sentido la topología σ(L*, L) sobre L* es la topología menos fina (también llamada topología débil estrella o topología débil *) respecto a la cual todos los elementos de Lson continuos (aquí los elementos de Lse interpretan como funciones de valor real sobre L*) (Zame y Mas-Colell, 1990, pp. 1839). Con esta topología el espacio topológico (L, σ(L*, L)) es también de Hausdorff.

Enunciamos los supuestos que van a utilizarse:

Supuesto C: Sobre los consumidores

(i) ∀ i, Xi : Lm+n-1 → 2L\{∅} es una correspondencia σ(Lm+n-1, L*m+n-1)-cerrada, valorada convexa y conteniendo al 0.

(ii) ∀ i sea B un conjunto no vacío de L tal que Xi(z-i)∩B ≠∅ entonces existe un σ(Lm+n-1, L*m+n-1)-entorno de z-i, U(z-i) tal que Xi(z')∩B ≠∅ para todo z' ∈ U(z-i).

(iii) Para toda z-i Lm+n-1 y xi en Xi(z-i), el conjunto {xi' ∈ Xi(z-i) : xi xi'} es convexo. Para todo entorno de xi, V(xi), en la topología débil, Pi(xi)∩V(xi)≠∅ donde Pi(xi) := {xi' ∈ Xi(z-i) : xi xi'} es σ(Lm+n-1, L*m+n-1)-abierto. Este último es el supuesto de no saciedad local (NS).

(iv) Sea la función de conjunto Γ: Lm+n-1→2L×L\{∅} definida por Γ(z-i) = {( xi, xi') ∈ Xi(z-i)2 : xi xi'}. Esta correspondencia es σ( Lm+n-1, L* m+n-1)-cerrada7.

(v) La función r i es continua y estrictamente creciente. Además ∑i r i(π(ωi), (π(yj)j=1n)) = π(ω) + ∑jπ(yj) y si zA(ω) entonces r i(π(ωi), (π(yj)j=1n)) > 0.

Supuesto P: Sobre los productores

(i) ∀ j, Yj : Lm+n-1 → 2L\{∅} es una correspondencia σ(Lm+n-1, L* m+n-1)-cerrada.

(ii) ∀ j sea B un conjunto no vacío de L tal que Yj(z-j)∩B ≠∅ entonces existe un σ(Lm+n-1, L* m+n-1)-entorno de z-j, U(z-j) tal que Yj(z')∩B ≠∅ para todo z' ∈ U(z-j).

(iii) Existen tj y ťj ∈ ℜ tal que para toda z-j Lm+n-1 tjχM Yj(z-j) y ťjχM Yj(z-j)

(iv) Yj(z-j) - L+ = Yj(z-j) para toda z-j Lm+n-1 (libre disponibilidad).

Supuesto B

El conjunto A(ω'):= {zZ : ∑i xi ≤ ∑j yj + ω'} donde ω'≥ ω es acotado en norma.

Notemos que en ausencia de externalidades, los supuestos C(i) y C(iii)-(iv) son prácticamente similares al supuesto C de Bonnisseau y Meddeb (1999). Para cada ambiente fijo z-i Lm+n-1, Xi(z-i) es cerrada en la topología débil (Joseph, 1978, pp. 509-510). El supuesto C(iv) es la extensión natural del supuesto de preferencias continuas al caso presente en que trabajamos con correspondencias de consumo en lugar de conjuntos. Por supuesto, ello implica continuidad débil dado un ambiente fijo o ausencia de externalidades8. En C(v) se tiene que si la riqueza global es positiva entonces el ingreso de cada individuo es positivo. A menudo también se ha argumentado que este supuesto revela que existe un mecanismo institucional por el cual las pérdidas de las firmas con tecnologías no convexas son compensadas. El supuesto C(ii) merece una consideración aparte: obsérvese que se trata de un supuesto más fuerte que el de hemicontinuidad débil ya que aquel vale para todo subconjunto B tal que Xi(z-i)∩B ≠∅, mientras que en el caso de la hemicontinuidad se exige que B sea abierto. Si tal es el caso de B, entonces las condiciones supuestas implican la hemicontinuidad inferior. Más aún este supuesto tiene como caso particular que si xXi(z-i) entonces vale decir que {x} ⊂ Xi(z-i) y por lo tanto existe un σ-entorno de z-i, U(z-i), tal que xXi(U(z-i)). Es decir dada una externalidad que define un conjunto de consumo, si un bien o servicio se encuentra en dicho conjunto se encontrará también en otro conjunto de consumo condicionado por una externalidad "cercana" a aquella. De no haber externalidades o bien si estas son fijas ambos conceptos coincidirían. Así el teorema que aquí desarrollamos generaliza el trabajo, entre otros, de Bewley (1972), Bonnisseau (1997), Bonnisseau y Cornet(1988) y Bonnisseau y Meddeb (1999).

Respecto del supuesto P, acontece lo mismo que lo comentado en el caso de la correspondencia Xi en los supuestos C(i)-(iv)9, tanto si no existen externalidades como si estas son fijas. En efecto, en cualquiera de estos dos casos tendríamos que Yj es un conjunto débilmente cerrado. La asunción de libre disponibilidad implica que dada una externalidad z-j Lm+n-1, las producciones débilmente eficientes se encuentran en la frontera de Yj(z-j) para la topología inducida por la norma. El supuesto P(iii) no está contemplado en el trabajo de Bonnisseau y Meddeb (1999) pero guarda relación con Bonnisseau (1997) y ha de usarse cuando trunquemos la economía original en subeconomías de dimensión finita. Notemos que el supuesto P(iii) al afirmar que tjχM Yj(z-j) para toda z-j Lm+n-1 es más débil que suponer que - L+ Yj(z-j), ya el nuestro sería un caso particular de este último. También asumir que ťjχM Yj(z-j) es menos restrictivo que asumir la imposibilidad de producción libre (Debreu, 1959). Obviamente lo que estos supuestos quieren hacer notar es que no se puede incrementar la producción sin hacer lo propio con los inputs dado un ambiente o externalidad.

El supuesto B aquí es similar a Bonnisseau y Meddeb (1999) con la terminología de Bonnisseau (1997). Por otra parte, el supuesto B asume la acotación dada para toda ω'≥ ω y no solamente para ω. Ello es así puesto que si supusiéramos solo para ω Bonnisseau-Cornet (1988) han dado un ejemplo de que el equilibrio puede no existir debido a las posibilidades de pérdida estricta (pp. 146, remark 5.1).

Supuesto BL (pérdida acotada)

Para todo productor j = 1, ..., n; existe un número real αj tal que, para todo zZ y para todo πj ∈ φj(z), pj(yj) ≥ αj.

Supuesto WSA (supuesto de supervivencia débil)

Para todo (π, z, λ) ∈ PE×ℜ+, si zA(ω+λχM) entonces π(∑j yj + ω +λχM) > 0

Notemos que si zA(ω+ λχM) entonces ∑j yj + ω + λχM ≥ 0 y por lo tanto π(∑j yj + ω + λχM) ≥ 0 para todo π ∈ L*+. Así, lo que el supuesto WSA dice es que el nivel común de precios de la economía dado por la regla de asignación de precios de cada productor permite obtener un nivel de riqueza global que está por encima del mínimo absoluto. Como se sabe, este supuesto es un debilitamiento del supuesto de supervivencia SA donde λ = 0. (Kamiya, 1988, pp. 263).

III. SUBECONOMIAS DE DIMENSION FINITA

III.1. Definiciones y propiedades básicas

Consideremos una red de subespacios de dimensión finita de L dirigida por inclusión y conteniendo tanto a (ωi) como a χM. Para cada F tenemos que F* es su dual; además F hereda el producto interior de L, y como F+∩(-F+) = {0} entonces F+ es un cono propio. Notemos que en la topología inducida intF+ F∩intL+ que es no vacío ya que χM está en intL+. De ahí que para todo F y para todo n ∈ ℵ tenemos que F con dim(F) = n es equivalente al espacio euclídeo n dimensional ℜn (Dunford y Schwartz, 1958, pp. 245)10. Con estos preceptos podemos asignar a F una estructura euclídea11 tal que χM F = {ξFF : ξFM) = 0}, χMFF+ = {0} y ||χMF|| = 1.

A continuación truncaremos la economía de dimensión infinita en subeconomías finitas. A tales fines consideraremos las siguientes correspondencias

Definidas, respectivamente, por

Asimismo tenemos que SF*+ = SF = {π ∈ F*+: π(χM) = 1}, F+FL+ e intF+F∩intL+. Veamos a continuación algunas cuestiones importantes relacionadas con el funcionamiento de estas economías truncadas o subeconomías. En primer lugar notemos que para todo F, Xi(zF-i)∩F ≠∅ ya que por C(i) 0 ∈ Xi(zF-i) y como F es un subespacio de L, 0 ∈ F. También para todo F Yj(zF-j)∩F ≠∅ ya que por el supuesto P(ii) tjχMYj(zF-j) y como F es un subespacio que contiene a χM, tjχMF.

En segundo término veamos que cualquiera sea F ∂(Yj(zF-j)∩F) ∈ ∂Yj(zF-j), para ello baste con probar que ∂(Yj(zF-j)∩F) = ∂Yj(zF-j)∩F. En efecto si yj ∈ ∂Yj(zF-j)∩F es evidente que yj ∈ ∂(Yj(zF-j)∩F). A la inversa sea yj ∈ ∂(Yj(zF-j)∩F) entonces yjYj(zF-j) e yjF. Por P(iii) existe ťj ∈ ℜ tal que ťjχM Yj(zF-j). Sea  t* > max{ťj, ||yj||}, de ahí tenemos que t*χM > ťjχM, t*χM > yj y por P(iv) t*χM Yj(zF-j)12. Como F es un subespacio t*χM está en F, lo mismo que el funcional αyj + (1-α)t*χM para todo α en [0, 1]. Si α = 1 este funcional está en Yj(zF-j) y si α = 0 entonces estará en L\Yj(zF-j). De ahí que para algún α ∈ (0, 1] αyj + (1-α)t*χM ∈ ∂Yj(zF-j)∩F. Notemos que el único caso que puede darse es α = 1. En efecto si α < 1 entonces tendríamos que αyj + (1-α)t*χM ∈ ∂Yj(zF-j)∩F ⊂ ∂(Yj(zF-j)∩F) por lo que se probó en la primera parte, pero αyj + (1-α)t*χM > yj μ-c.t.p. lo cual contradice que yj ∈ ∂(Yj(zF-j)∩F). Luego yj ∈ ∂Yj(zF-j)∩F.

Tercero, notemos que el conjunto que designa los estados truncados de la economía débilmente eficientes está dado por ZF = {zF ∈ (LF)m+n:∀i xiF Xi(zF-i)∩F y ∀j yjF ∈ ∂(Yj(zF-j)∩F)} el cual está contenido en el conjunto Z.

En cuarto lugar definimos la correspondencia φjF : ZF 2SF*+\{∅} expresada como φjF(zF) = φj(zF)∩F*+. Veamos que esta función multívoca está bien definida ya que si π ∈ φj(zF) ⊂ S, entonces π: L+ ℜ y en particular π está definida en F, o sea π|F: L+F ℜ, por lo que π|FF*+. Como χMF, π|FM) = π(χM) por lo que φj(zF)∩F*+ SF. En otras palabras φjF es la restricción de todo elemento de φj a F o lo que es lo mismo, para todo elemento de φjF existe una extensión a L que está en el conjunto φj.

En quinto término, veamos algunas cuestiones consideradas con la externalidad o ambiente y la inclusión. Consideremos por tanto un espacio de bienes de dimensión r, Fr. Notemos que FrFr+k, k ∩ℵ. En consecuencia zFr-i ∈ Πi=1m-1(LFr)×Πj=1n(LFr) ⊂ Πi=1m-1(LFr+k)×Πj=1n(LFr+k). Ahora bien, sean zFr-i y z'Fr-i en Πi=1m-1(LFr)× Πj=1n(LFr); dado que los conjuntos de consumo no necesariamente son los mismos cuando cambia el ambiente, no podemos comparar dos corrientes de consumos que pertenecen a externalidades diferentes, por ello XiFr(zFr-i) no es necesariamente igual a XiFr(z'Fr-i). Como consecuencia tendremos que a diferencia de lo que ocurre en los trabajos donde se sigue la aproximación por economías finitas sin externalidades aquí XiFr(zFr-i) no tiene por que estar incluido en XiFr+k(zFr+k-i)13. Es decir aunque la familia F esté dirigida por inclusión no sucederá directamente lo mismo con los conjuntos de consumo y producción ya que, formalmente, zFr-i y zFr+k-i son elementos de (LFr+k)m+n-1 y por tanto se pueden considerar como ambientes distintos. Matemáticamente decimos que es dable tener Xi(zFr-i)∩Fr  Xi(zFr-i)∩Fr+kXi(zFr+k-i)∩Fr+k14.

Así, los conjuntos de asignaciones débilmente eficientes y factibles, de equilibrio y de equilibrio factible en dimensión finita están dados respectivamente por

AF(ω) := {zFZF : ∑i xiF ≤ ∑j yj F + ω }⊂ A(ω)

PEF = {(pF, zF) ∈ SF×ZF : pF ∈ ∩j=1nj F(zF)∩F\0)}

APEF = {(pF, zF) ∈ SF × AF(ω): pF ∈ ∩j=1nj F(zF)∩F\0)}

Por su parte las preferencias F(i , zF-i) es el preorden inducido sobre Xi(zF-i)∩F por (i , zF-i)

En último término recordemos que las topologías σ(L, L*) y σ(L*, L) sobre L y L* respectivamente son, en esos espacios, las topologías más débiles que además hacen que dichos espacios sean de Hausdorff (Dunford y Schwarz, 1958, pp. 68). Al restringir L a F y L* a F*, tenemos los subespacios (F, σ(L, L* )F) y (F*, σ(L*, L)F*) siendo σ(L, L* )F y σ(L*, L)F* las topologías relativas. Debemos tener presente que la restricción de σ(L, L*) (σ(L*, L)) a F (F*) coincide con la restricción de la topología (*)15 a F (F*) (Zame, 1987, pp. 1095). Por este motivo, una red en F (F*) σ(L, L*)-converge (s(L*, L)-converge) si y solo si -converge (*-converge). Por otra parte el hecho de que la topología inducida σ(L, L* )F coincida con la topología de la norma F en dimensión finita significa que el subespacio topológico (F, σ(L, L*)F) es metrizable, de ahí que podamos tratar en lugar de redes directamente con sucesiones en cada subeconomía16.

IV. TEOREMA DE EXISTENCIA, LEMAS Y SUPUESTOS ADICIONALES

Antes de pasar al teorema central de este capítulo exponemos un supuesto y dos lemas

Supuesto PR (sobre la conducta de los productores)

(i) La correspondencia φj: Z→ 2S es valorada no vacía y convexa.

(ii) Para cada F la correspondencia φjF tiene un grafo cerrado

(iii) Sea (zF(t), πF(t)) ∈ Z×S una subred tal que se verifican:

_ (zF(t), πF(t))→ (z*, π*) en la topología producto débil

_ πF(t) ∈ φj(zF(t)) ∀ tT.

_ πF(t)(yjF(t)) converge

entonces suponemos que (a) lim πF(t)(yjF(t)) ≥ π*(y*), y si lim πF(t)(yjF(t)) = π*(yj*) entonces (b) yj* ∈ ∂Yj(z*-j) y π* ∈ φj(z*) para todo j = 1, ..., n.

En el caso de que no hubiere externalidades o bien que estas sean fijas, este supuesto se traduce automáticamente en el supuesto PR de Bonnisseau y Meddeb (1999), por lo que así presentado es una generalización del de estos autores. Más aún, el hecho de exigir que la subred (zF(t), πF(t)) pertenezca a Z×S es más débil que el en el caso de los autores mencionados. Por otro lado, esta correspondencia extiende a φj en Bonnisseau (1997) al espacio de bienes de infinitas dimensiones. Cuando Yj(z-j) es un conjunto convexo entonces el supuesto PR se cumple directamente17.

La economía εF satisface los supuestos (P), (B), (BL), (WSA), (PR), (R) y (C) (excepto NS) del trabajo de Bonnisseau (1997) para todo F. Sin embargo, como veremos en el apéndice A, no en todas las subeconomías de dimensión finita se satisfacen los supuestos (NS) y (SA) de Bonnisseau (1997). Concretamente es a partir de un cierto F0F que ambas condiciones tienen lugar, como reza el lema siguiente.

Lema 4.1. Bajo los supuestos (C), (P), (B), (BL), (WSA) y (PR) y teniendo en cuenta lo expresado en la sección 3, existe un subespacio F0F tal que para todo FF con F F0 la economía satisface:

(NSF): Sea ((xiF)i=1m, (yjF)j=1n) ∈ AF(ω) entonces para todo -entorno de xiF, V(xiF), y para todo i tenemos que PiF(xiF)∩V(xiF) ≠ ∅.

(WSAF): Sea (pF, zF, λ) ∈ PEF ×ℜ+, si zFAF(ω+λχM) entonces pFj yj + ω +λχM) > 0

Demostración: en el apéndice A.

Lema 4.2. Bajo los supuestos (C), (P), (B), (BL), (WSA) y (PR) y teniendo en cuenta lo expresado en la sección 3, existe un subespacio F0F tal que para todo FF con F F0 la economía εF tiene un equilibrio (zF, pF) = ((xiF)i=1m, (yjF)j=1n, pF) ∈ ZF × SF.

Demostración: en el apéndice A.

Teorema 4.1. La economía ε = ((Xi, ( i, z-i),ri)i=1m, (Yj, (φj)j=1n, ω) tiene un equilibrio si satisface los supuestos (C), (P), (B), (BL), (WSA) y (PR).

La demostración la brindamos en la sección siguiente.

V. PASO DE LA ECONOMIA DE DIMENSION FINITA, POR LIMITE, A LA DE DIMENSION INFINITA.

Sea ((xiF)i=1m, (yjF)j=1n, (pF)) un equilibrio de la economía εF para cada F tal que F F0. Probaremos la existencia de un vector ((xi*)i=1m, (yj*)j=1n, (π*)) ∈ Lm+n×Sn, el cual es un equilibrio de la economía. La demostración consta de los siguientes 9 pasos:

Paso 1. Extensión de pF (pF: LF→ℜ+) a πF F: L→ℜ+) en S.

Demostración

La demostración no es sino una aplicación del teorema de Hahn-Banach (Kolmogorov y Fomin, 1957, pp. 86). Existe una extensión πF de pF a L. Como pFSF, que es un conjunto compacto, || pF || < ∞. En virtud del teorema mencionado || πF ||L* = || pF || < ∞. Como πFM) = pFM) = 1, entonces para toda F πF S.

Observación. Notemos que en virtud de lo que expusimos en la sección 3 acerca de la correspondencia φjF sabemos que para cada pF ∈ φjF(zF) existirá una extensión pjF ∈ φj(zF). Es decir pj|FF = pF. No obstante no tenemos ningún argumento para afirmar ni que pjF es igual para toda j (aunque sí lo sea su restricción a F), ni que para alguna j pjF  = πF.

Paso 2. Existe una subred ((xiF(t))i=1m, (yjF(t))j=1n, πF(t), (pjF(t)))t∈(T, ≥) que converge en la topología producto débil a ((x*i)i=1m, (y*j)j=1n, π*, (pj*)). Del mismo modo (πF(t)(yjF(t))) t∈(T, ≥), j = 1, ..., n y (πF(t)( xiF(t))) t∈(T, ≥), i =1, ...m son redes convergentes.

Demostración

En primer lugar probamos que la red está en un conjunto débilmente* compacto. En efecto A'(ω) que según B es un conjunto acotado en la norma, en consecuencia por el teorema de Banach-Alaoglu (Ash, 1972, pp. 162) está en un conjunto débilmente* compacto. Así existe una subred ((xiF(t))i=1m, (yjF(t))j=1n)t∈(T, ≥) convergente en la topología producto a ((xi *)i=1m, (y j*)j=1n).

Análogamente, del paso 1 tenemos que las redes y están en el conjunto S, y nuevamente por el teorema de Banach-Alaoglu, este es débilmente* compacto. Existen entonces las subredes (πF(t))t∈(T, ≥) y ((pjF(t)))t∈(T, ≥) con π;F(t) w*→ π* y pjF(t) w*pj* para j = 1, 2, ..., n. Entonces la red ((xiF(t))i=1m, (yjF(t))j=1n, πF(t), (pjF(t)))t∈(T, ≥) converge en la topología débil a ((x*i)i=1m, (y*j)j=1n, π*, (pj*)).

Por un análisis similar tendríamos que πF(yjF) ∈ ℜn = ℜn* y |πF(yjF)| ≤18 ||πF||ba.||(yjF)||L < ∞. Análogo a lo que expusimos arriba podemos afirmar que la subred (πF(t)(yjF(t))) t∈(T, ≥) converge para toda j. La demostración para (πF(t)( xiF(t))) t∈(T, ≥), i =1, ...m es idéntica ■.

Observación 1. El paso anterior es equivalente a decir que las redes (pjF(t)(yjF(t))) t∈(T, ≥), j = 1, ..., n y (pjF(t)( xiF(t))) t∈(T, ≥), i =1, ...m, son convergentes puesto que restringidas a F(t), para todo tT, pF(t), pjF(t) y πF(t) coinciden. Observemos también que la convergencia aquí es en la topología inducida por la norma.

Observación 2. Notemos que ((xiF(t))i=1m, (yjF(t))j=1n, pF(t))t∈(T, ≥) es un subconjunto del conjunto de equilibrios , por lo que para cada tT con t mayor que un cierto t0 T19 ((xiF(t))i=1m, (yjF(t))j=1n, (pF(t))) es un equilibrio de εF(t).

Paso 3. Para todo j = 1, ..., n, π* = pj*.

Demostración.

La prueba es similar a la dada por Bonnisseau y Meddeb (1999), pp. 297.

Paso 4. ((xi*)i=1m, (y j*)j=1n) ∈ Π i=1mXi(z*-i)×Π j=1nYj(z*-j) y Σ i=1m xi * = Σ j=1n yj* + ω.

Demostración.

Del paso 2 observación 2 ((xiF(t))i=1m, (yjF(t))j=1n) ∈ ZF(t) ⊂ Πi=1mXi(zF(t)-i)×Πj=1nYj(zF(t)-j) ⊂ Πi=1mXi(zF(t)-i)×Π j=1nYj(zF(t)-j) para todo t > t0, tT. Como zF(t) w→ z*, y las correspondencias Xi e Yj son débilmente cerradas entonces ((xi*)i=1m, (y j*)j=1n) ∈ Π i=1mXi(z*-i)×Π j=1nYj(z*-j). Por otra parte Σ i=1m xi F(t) = Σ j=1n yj F(t) + ω a partir de un cierto t0 T. Luego en virtud de las σ(L, L*)-convergencias de xiF(t) y de yjF(t) tenemos que Σ i=1m xi * = Σ j=1n yj* + ω.

Paso 5. π* ≠ 0.

Demostración.

π* ≥ 0 (π*L*+). ∀ tT, pF(t)M)=1. Entonces 1 = lim πF(t)M) = π*M). Luego π* = pj*≠ 0 "j = 1, ..., n

Paso 6. Si : xi ( i, z*-i) xi* entonces π*(xi) ≥ ri*i), lim(πF(t)(yjF(t))))

Demostración.

Sean xi, xi* Xi(z*-i) con xi ( i, z*-i) xi* y sea yj* ∈ ∂Yj(z*-j). Por el supuesto de no saciedad local tenemos a xi' Pi(xi)∩V(xi), donde V(xi) es un σ(L, L*)-entorno de xi. Ahora bien, xi' está en algún F y existe t0 T tal que para todo t > t0 F F(t), de modo que xi' Pi(xi)∩V(xi)∩F(t) ∀ t > t0. Es evidente que xi' Xi(z*-i)∩F(t: t > t0)∩Pi(xi)∩V(xi) y por C(ii) existe t1 T tal que para todo t > t1 xi' Xi(zF(t: t > t1)-i)∩F(t: t > t0)∩Pi(xi)∩V(xi). Entonces para todo t T con t > máx.{t0, t1} xi' Xi(zF(t)-i)∩F(t)∩Pi(xi)∩V(xi). Por otro lado xiF(t) w*xi* y xiF(t)Xi(zF(t)-i)∩F(t) para todo tT. Así en particular, existe t2 T tal que para todo t > t2 xiF(t)Xi(zF(t)-i)∩F(t)∩U(xi*), donde U(xi*) es un entorno de xi*. De igual manera y teniendo en cuenta P(ii) se sigue que existe yj'Yj(z*-j) y t3 T tal que para todo t > t3 yj' Yj(zF(t)-i)∩F(t). Entonces para todo t > max{t0, t1, t2, t3}, t T, consideramos la economía εF(t). De ahí por la continuidad de las preferencias xi' F(t)(i, zF(t)-i) xiF(t) de modo que20 πF(t)(xi') > πF(t)(xiF(t)) = riF(t)i), (πF(t)( yjF(t)))) ≥ riF(t)i), (πF(t)( yj')))

Tomando límites

π*(xi') lim πF(t)(xiF(t)) = ri(π*i), lim(πF(t)( yjF(t)))) ri(π*i), (π*( yj'))) (1)

Esta desigualdad vale para xi' arbitrariamente cerca de xi, de modo que la continuidad de π* y de ri aseguran que π*(xi) ri(π*i), lim(πF(t)( yjF(t)))) (1')

Paso 7. p*(yj*) =  limpF(t)(yjF(t)) y p*(xi*) = lim(pF(t)(xi F(t)))

En (1') sustituimos xi por xi* y en (1) yj' por yj*, de modo que tenemos

π*(xi*) ≥ limπF(t)(xiF(t)) = ri*i), lim(πF(t)(yjF(t)))) ≥ ri*i), (π*(yj*))) (2)

Veamos que π*(xi*) = ri*i), (π*( yj*))) para todo i. Supongamos que no, entonces existe i' tal que π*(xi'*) > ri'*i'), (π*( yj*))). Entonces Σi=1mπ*(xi*) > π*(ω) + Σ j=1n π*(yj*) .(3)

Por otro lado, hemos probado que Σ i=1m xi* = Σ j=1n yj* + ω, lo que implica que Σi=1m π*(xi*) = π*(ω) + Σ j=1n π*( yj*). De modo que es una contradicción con (3). Luego π*(xi*) = ri*i), (π*(yj*))) para todo i = 1, ..., m. Entonces, de la desigualdad (2) se deduce que ri*i), lim(πF(t)( yjF(t)))) = ri*i), (π*( yj*))) para todo i. Dado que ri(.) es estrictamente creciente, limpF(t)( yjF(t))) = π*(yj*). La demostración de que π*(xi*) = lim(πF(t)(xi F(t))) es similar.

Notemos que con lo expuesto en este paso y considerando lo que probamos en el paso 4 junto al supuesto PR(iii) (b) tenemos que en definitiva ((xi*)i=1m, (y j *)j=1n) = z*A(w).

Paso 8. Para todo i =1, ..., m, xi* es maximal en el conjunto presupuestario {xi Xi(z*-i) : π*(xi) ≤ r i*i), (π*(y*j)j=1n))}

Demostración:

Tenemos que probar que para cada agente i, si xi (i, z*-i) xi* entonces π*(xi) > π*(xi*). Supongamos que π*(xi') = π*(xi*). Por los supuestos WSA y C(v) sabemos que π*(xi*) = r i*i), (π*(yj*)j=1n)) > 0. Para todo t ∈ (0, 1) tendremos que π*(txi') < π*(xi') = π*(xi*). Sea asimismo t lo suficientemente cercano a 1 tal que txi' ∈ Xi(z*-i). Por la continuidad de las preferencias txi' (i, z*-i) xi* y por el paso 7 π*(txi') ≥ π*(xi*). Tenemos así una contradicción.

Paso 9. π* ∈ φj(z*)

Demostración:

De los pasos 1 y 2 tenemos que para todo tT pjF(t) ∈ φj(z F(t)). Por los pasos 2 y 3 tenemos que pjF(t) w* π* S para todo j y pjF(t)(yjF(t)) = πF(t)(yjF(t)) converge. Por su parte en el paso 7 dedujimos que lim πF(t)(yjF(t)) = π*(yj*), entonces por PR(iii) b) π* ∈ ∩j=1nφj(z*).

APENDICE A

Incumplimiento de los supuestos (WSA) y (NS) en subeconomías de dimensión finita

En primer lugar notemos que el supuesto (WSA) no se cumple en cualquier subeconomía finita. Sean (pF, zF, λ) ∈ PEF ×ℜ+ y zF AF(ω+λχM) entonces en virtud de que ZF ⊂ Z tenemos que en realidad (pF , zF , λ) ∈ PE×ℜ+ y zF  ∈ A(ω+λχM). Del punto 5 paso 1 tenemos que existe pjF ∈ φj(zF ) tal que pj|FF= π|F F = pF . Pero si bien es cierto que (pF) ∈ Πi=1mφjF(zF ) ya hemos visto que la extensión de pjF a L no ha de ser necesariamente la misma para todo j, de modo que lo que en definitiva tendremos es que (pj) ∈ Πj=1nφj(zF ) por lo que no podríamos hacer uso del supuesto (WSA).

El caso del supuesto de no saciedad local (NS) ocurre que si (zF) ∈ AF(ω) entonces (zF) ∈ A(ω). Por (NS) sabemos que en cualquier σ-entorno de xiF habrá un xi' tal que xi' (i, zF-i) xiF. Sin embargo no podemos afirmar que esté en el subespacio F, de ahí que no podamos sugerir que se satisfaga la condición (NS) en cualquier subeconomía εF.

En el siguiente paso demostramos que estos supuestos se cumplen para economía finitas a partir de una cierta dimensión.

Demostración del lema 4.1

(WSAF)

En primer lugar probamos que para todo F F0 la economía εF satisface el supuesto (WSAF). Lo demostramos por reducción al absurdo. En efecto si suponemos que no, entonces para todo F existe F', F' ⊃ F, tal que si (pF ', zF ', λ) ∈ PEF '×ℜ+ y zF 'AF'(ω+λχM) entonces pF'j yj + ω +λχM) = 0. Esta demostración es similar a la de Bonnisseau (2000), sin embargo allí λ está en un intervalo cerrado de ℜ+, en tanto que aquí λ ∈ ℜ+ y la hemos adaptado al hecho de que estamos trabajando con correspondencias. Del paso 1 en la sección V tenemos que existe pjF '∈ φj(zF ') tal que pj|F ' F '= π|F ' F '= pF '. Sabemos que la red ((zF'),πF',(pjF'),pjF'(yjF'))F' ∈ F está contenido en un conjunto débilmente compacto. Entonces existe una subred ((zF '(t)), πF '(t), (pjF '(t)), (pjF '(t)(yjF '(t)))) t∈(T, ≥) convergente a ((z*), π*, (pj*), lim(pjF '(t)(yjF '(t)))).

Como zF 'AF '(ω+λχM) para todo F' , deducimos que Σ j=1n yjF'(t) + ω + λχM ≥ Σ i=1mxiF'(t) ≥ 0, y como L+ es débilmente cerrado Σj=1n yj* + ω + λχM ≥ Σ i=1m xi* ≥ 0. Además tengamos presente que π* = pj* para todo j (sección V paso 3). Como π* ≥ 0, Σ j=1nπ*(yj*) + π*(ω)+ λ ≥ 0. Por otra parte, dado que pF 'j yj + ω +λχM) = 0 para todo F' , entonces deducimos que Σj=1n lim πF '(t)(yjF '(t)) + π*(ω) + λ = 0. Por el supuesto PR (iii) a), 0 ≤ Σ j=1n π*(yj*) + π*(ω)+ λ ≤ Σ j=1n lim πF '(t)(yjF '(t)) + π*(ω) + λ = 0, de donde se deduce que

 Σ j=1n π*(yj*) + π*(ω)+ λ = 0 (1) y

Σ j=1n π*(yj*) = Σ j=1n lim πF '(t)(yjF '(t)), o sea π*(yj*) = lim πF '(t)(yjF '(t)) para toda j.

Tengamos presente lo siguiente: en primer lugar π* = pj* y pj|F '(t) F '(t) = π|F'(t)F '(t) para todo j. En segundo término, dado que zF 'ZF ' para todo F' , entonces yjF '(t) ∈ ∂Yj(zF '(t)-j) ∀ j, t, y xiF '(t)Xi(zF '(t)-i) ∀ i, t. Como la correspondencias Xi e Yj son cerradas (ambas en la topología débil) y como π*(yj*) = lim πF '(t)(yjF '(t)) para toda j, entonces por el supuesto PR(iii) b) π* ∈ φj(z*) para todo j = 1, ..., n y z*Z.

De ahí que (π*, z*, λ) PE'ℝ+ y z*A(ω+λχM) entonces por el supuesto WSA Σ j=1n π*(yj*) + π*(ω)+ λ > 0, lo cual es una contradicción con (1). Luego existe F0F tal que para todo F con F F0 la economía εF satisface (WSAF)

(NSF)

A continuación probamos que se satisface también (NSF) a partir de un cierto F0. La demostración dada es similar a la desarrollada por Bonnisseau (2000), sin embargo en nuestro caso esta se ha extendido al considerar externalidades y correspondencias.

Supongamos que no existe tal F0, entonces para todo F existe F', F' ⊃ F, tal que si ((xiF ')i=1m, (yjF ')j=1n) ∈ AF '(ω) y para cualquier -entorno de xiF ', V(xiF '), i = 1, ..., n; entonces hay algún i, i0, donde Pi0F(xi0F)∩V(xi0F) = ∅. De B y de los pasos 2, 4 y 7 de la sección V sabemos que existe una subred ((xiF '(t))i=1m, (yjF '(t))j=1n) t ∈ (T, ≥) convergente a ((xi*)i=1m, (yj*)j=1n) ∈ A(ω). Del supuesto C(iii) sabemos que existe ζiPi(xi*)∩V(xi*) para todo i = 1, ..., m, y todo σ-entorno, V(xi*),de xi*. De nuevo, por C(iii) Pii)∩Vi) ≠ ∅.

Sea ζi' ∈ Pii)∩Vi), ζi' ∈ FF(t) para todo t > t0, entonces Pii)∩Vi)∩F(t) ≠ ∅. Para todo i tenemos entonces claramente que Xi(z*-i)∩Pii)∩Vi)∩F(t) ≠ ∅ entonces por C(ii) existe t1 tal que si t > t1, Xi(zF'(t)-i)∩Pii)∩Vi)∩F(t) ≠ ∅ o bien para todo t > max{t0, t1} XiF'(t)(zF'(t)-i)∩Pii)∩Vi) ≠ ∅.

Por otra parte, sabemos que para todo tT, xiF '(t)Xi F '(t)(z F '(t) -i) y como la red (xiF '(t)) t ∈ (T, ≥) es débilmente convergente, existe t2 tal que si t > t2, xiF '(t)Xi F '(t)(z F '(t)-i)∩U(xi*) donde U(xi*) es un σ-entorno de xi*. Entonces para todo t > max{t0, t1, t2} ζi' y xiF '(t) pertenecen a XiF(t)(zF(t)-i) y, por la continuidad de las preferencias, para cualquier i = 1, ..., m, ζi' F '(t)(i, z F '(t)-i) xiF '(t) 21. Ahora bien, {F'(t) : tT } es un subconjunto del conjunto {F: FF} por lo que la preferencia estricta de arriba contradice que para cualquier F' ∈ existe un consumidor i0 tal que no se tiene que ζi0' F '(i, z F '-i) xi0F ' con ζi0' Xi0F'(z F '-i0). Luego, la condición (NSF) se cumple a partir de un cierto F0F. .

APENDICE B

Casos Particulares

En este apartado veremos tres casos particulares: 1) El espacio de bienes es de dimensión finita, 2) No existen externalidades o bien estas son fijas y 3) Los conjuntos de producción son convexos. El propósito de esta sección es mostrar como el teorema de existencia 4.1 extiende a los de otros trabajos en donde se dan una o varias de las circunstancias expuestas a continuación.

1) Economías con espacio de bienes de dimensión finita

Este caso ya lo hemos analizado implícitamente en la sección dedicada al estudio de las subeconomías o economías truncadas. Allí observamos la validación de los conjuntos XiF, YjF, ZF, AF(ω) y φjF entre otros. En el apéndice B probamos que cuando el espacio de bienes es a partir de una cierta dimensión -finita- se cumplen todos los supuestos de Bonnisseau (1997), además es posible seguir la misma argumentación en la prueba de demostración que lleva adelante este autor, adaptándola a cualquier espacio de dimensión finita como es nuestro caso.

2) No existen externalidades o bien estas son fijas

En caso de que no contemplemos las externalidades está claro que se cumplen tanto el supuesto (C) como el (P) en Bonnisseau y Meddeb (1999). El caso de la función de beneficios es similar al de dichos autores e incluso más abstracto ya que consideramos una función -compuesta- de tipo general. Lo mismo ocurre con los supuestos (BL), (WSA), (R) y (PR).

Por todas estas cuestiones observamos que si las externalidades fueren fijas o bien si estas no existiesen entonces nuestro modelo en este caso redundaría, sin más, en el modelo de Bonnisseau y Meddeb (1999), por lo que existiría un equilibrio tal como estos autores prueban.

3) Los conjuntos de producción son convexos

En este caso, cualquiera sea z-j L(M, M, μ)m+n-1 tendremos que el conjunto Yj(z-j) es convexo. A partir de allí la conducta de los productores queda definida por el principio maximizador PMj(z) = {π ∈ S: π(yj) ≥ π( y) ∀ yYj(z-j)}. En este caso observamos que se cumple el supuesto PR(i).

A continuación mostramos que PMjF tiene un grafo cerrado. En efecto sean dos sucesiones, (zn) y (pn) en ZF y SF respectivamente, tal que para todo n ∈ ℵ pn PMjF(zn). Consideremos además que znz y pnp. De la definición de PMjF tenemos que pn(yjn) ≥ pn(yj') ∀ y' ∈ Yj(zn-j). Probemos que p(yj) ≥ p(y) ∀ yYjF(z-j). En efecto sea yYjF(z-j), como esta última es una correspondencia hemicontinua inferiormente en un espacio de dimensión finita entonces existe una sucesión yn convergente a y tal que yn Yj(zn-j) ∀ n ∈ ℵ; sabemos que pn(yjn) ≥ pn(yn) para cada n ∈ ℵ de manera que tomando límites p(yj) ≥ p(y). Como esto vale para cualquier yYjF(z-j) entonces hemos probado que pPMjF(z), luego PMjF es cerrada.

A continuación veamos que se cumple el supuesto PR(iii). Comencemos con el punto a), de modo que dadas las condiciones explicitadas πF(t)(yjF(t)) ≥ π F(t)(y) ∀ yYj(zF(t)-j). Queremos probar que limπF(t)(yjF(t)) ≥ π*(y') ∀ y' ∈ Yj(z*-j). Supongamos que no, entonces existe algún y' ∈ Yj(z*-j) tal que limπF(t)(yjF(t)) < π*(y'). En lo que sigue de esta demostración llamaremos νj a limπF(t)(yjF(t)). Si νj < π*(y') entonces existe ε > 0 tal que νj + ε < π*(y') de donde se tiene que ν+ ε/2 < π*(y') - ε/2. Entonces como πF(t)(yjF(t)) tiende a νj, existe un t0T tal que ∀ tt0, t T, πF(t)jF(t)) ∈ Bj; e/2) con yjF(t) ∈ ∂Yj(zF(t)-j). Sea ε/2, a su turno como πF(t)→ π* entonces existe t1T tal que ∀ tt1, t T, πF(t)(y') ∈ B*(y'); ε/4) y por P(ii) existe un t2T tal que ∀ tt2, Yj(zF(t)-j)∩B(y'; ε/4) ≠ ∁ 22. Consideremos ahora t3 > máx.{t0, t1, t2} en tal caso tenemos que para y'' ∈ Yj(zF(t3)-j)∩B(y'; ε/4) y πF(t3)(y') ∈ B*(y'); ε/4) se deduce que πF(t3)(y'') ∈ B*(y'); ε/2) y πF(t3)(yjF(t3)) ∈ Bj; ε/2). De todo ello tenemos las siguientes desigualdades

πF(t3)(yjF(t3)) < νj + ε/2 < π*(y') - ε/2 < πF(t3)(y'')

Notemos que yF(t3) ∈ ∂Yj(zF(t3)-j) e y'' ∈ Yj(zF(t3)-j) y como πF(t3)PMj(zF(t3)) entonces πF(t3)(yjF(t3)) ≥ πF(t3)(y'') lo cual es una contradicción con la desigualdad de arriba. Luego limπF(t)(yjF(t)) ≥ π*(y') " y' ∈ Yj(z*-j), de modo que, en particular, limπF(t)(yjF(t)) ≥π*(y*) con y*Yj(z*-j).

Para probar que se cumple el supuesto PR(iii) (b) Supongamos que limπF(t)(yjF(t)) = π*(y*) entonces π*(y*) ≥ π*(y') ∀ y' ∈ Yj(z*-j) de modo que π* PMj(z*) ⊂ S. Como Yj(z*-j) es convexo y dado el supuesto de libre disponibilidad y* ∈ ∂Yj(z*-j).

APENDICE C

Rudimentos matemáticos utilizados en el trabajo:

(1) Una σ-álgebra M de subconjuntos de un conjunto M es una clase de subconjuntos de M que contienen tanto a ∅ como a M y que es cerrado bajo las operaciones de complementación, unión numerable e intersección finita. Al par (M, M) se lo llama espacio medible.

(2) Sea (X, T) un espacio topológico. La σ-álgebra de Borel en X, denotada por B(X), es la σ-álgebra generada por los conjuntos T-abiertos de X.

(3) Dados dos espacios medibles (M, M) y (M', M') una función f: M M' se dice medible si f--1(E) = {ω ∈ M : f(ω)∈ E}∈ M para cada E ∈ M'.

(4) Sea (M, M) un espacio medible. Una medida μ en M es una función de M en el intervalo [0, ∞) tal que (i) μ(∅) = 0 y (ii) μ(Ui=1Ei) = Σ i=1μ(Ei) donde EiEi' = ∅ para i i'. Al espacio (M, M, μ) se lo llama espacio medida.

(5) Si μ(E) < ∞ para todo E ∈ M, entonces el espacio es σ-finito.

(6) Llamamos a L(M, M, μ) espacio de funciones en M, M -medibles [f--1(E) = {ω ∈ M : f(ω)∈ E}∈ M para cada EB(ℜ)] y μ-esencialmente acotadas [||f|| = sup.{α ≥ 0 : μ{mM: f(m) ≥ α}> 0}< ∞]. Restringiremos el espacio al caso de las funciones de valor real.

(7) Si f y g son dos funciones que pertenecen a L(M, M, μ) tal que ambas son iguales en todo el dominio M excepto en un conjunto de medida nula, entonces decimos que f = g μ-a.e (traducido: casi en toda parte o c.t.p.) o bien que f y g son μ-equivalentes. Con ello definimos a L(M, M, μ) como al espacio de clases de equivalencia (de μ-equivalencia) de L(M, M, μ). Por otra parte L+(M, M, μ) = {fL(M, M, μ) : f(m) ≥ 0 m-a.e}. Todo lo anterior en este punto vale también para L1(M, M, μ).

(8) El espacio L(M, M, μ) con la norma ||.|| es un espacio normado. Por su parte (L(M, M, μ), ) es el espacio topológico donde es la topología inducida por la norma ||.||. Asimismo L(M, M, μ) es un espacio de Banach ya que en sí es un reticulado de Banach.

(9) Si X es un espacio vectorial topológico, el dual topológico de X, X*, es el conjunto de funcionales lineales continuos en X.

(10) Dado un par (X, W) existe una topología, la menos fina, en X tal que W = X*. A esta se la denota por σ(X, W) y es la topología de la convergencia punto a punto en W, es decir, si xv es una red en X, entonces xv tiende a x si y solo si w.xv tiende a w.x para todo w en W. Llamamos a σ(X, W) la topología débil en X, ya que es menos fina que la topología original. En adelante escribiremos directamente (X, X*) y σ( X, X*).

(11) Análogamente tendremos que σ(X*, X) es la topología débil en X*, tal que si pv es una red en X*, entonces pv tiende a p si y solo si pv(x) tiende a p(x) para todo x en X. Se llama a σ(X*, X) topología débil* o topología débil estrella.

(12) Dado un par (X, W) existe una topología, la mas fina, en X tal que W = X*. A esta se la denota por τ(X, W) y es definida como la topología de la convergencia uniforme, es decir, si xv es una red en X, entonces xv tiende a x si y solo si w. xv tiende a w.x uniformemente para todo w en cualquier subconjunto σ(X, W)-compacto de W. En adelante escribiremos directamente (X, X*) y τ( X, X*). Similarmente τ(X*, X) es la topología tal que si pv es una red en X*, entonces pv tiende a p si y solo si pv(x) tiende a p(x) uniformemente para todo x en un subconjunto σ( X, X*)-compacto de X. Llamamos a τ topología Mackey.

(13) Sea L(M, M, μ), su dual topológico es ba(M, M, μ), el espacio de las funciones de conjunto en (M, M) acotadas, aditivas y absolutamente continuas. La topología σ(L, L1) es la topología débil* (Ldual de L1). Junto a la topología Mackey τ(L, L1) son, respectivamente, la topología menos fina y la más fina para la cual el dual topológico de L(M, M, μ) es L1(M, M, μ). Por su parte σ(L, ba) y σ(ba, L) son las topologías débiles respectivas de L(M, M, μ) y ba(M, M, μ).

(14) Sea (X, T) un espacio topológico, si xv es una red en X T-convergente a x lo escribiremos xv T x. Los casos xv wx y xv w*x son los respectivos a (X, σ( X, X*)) y (X*, σ( X*, X))

(15) Sea A un conjunto, definiremos al conjunto de partes de A como 2A. Sea (X, T) un espacio topológico y sea A X, entonces clA denota la T -clausura de A, intA el T -interior de A y ∂A la T -frontera de A. Si X es de dimensión infinita escribimos la frontera como ∂.

(16) Sea x X, (X, T) espacio topológico. Entonces U es un T -entorno de x si x ∈ intU.

(17) Sea la correspondencia C: (X, T)→2X', donde (X, T) y (X', T') son espacios topológicos, entonces C es T - hemicontinua superior en x X, si C(x) ≠ ∅ y para todo T '-entorno U de C(x), existe un T -entorno V de x, tal que C(z) ⊂ U para todo z en V. La correspondencia es T - hemicontinua superior si es T - hemicontinua superior en todo x X.

(18) Sea la correspondencia C: (X, T)→2X', donde (X, T) y (X', T') son espacios topológicos, entonces C es T - hemicontinua inferior en x X, si C(x) ≠ ∅ y para todo conjunto T'-abierto G tal que C(x)∩G ≠ ∅, existe un T -entorno V de x, tal que C(z)∩G ≠ ∅ para todo z en V. La correspondencia es T - hemicontinua inferior si es T - hemicontinua inferior en todo x X.

(19) Sea la correspondencia C: (X, T)→2X', donde (X, T) y (X', T') son espacios topológicos, entonces C es T - cerrada si xv y x'v son redes en X y X' respectivamente con xv Tx en X y x'v T'→x' en X', y x'v ∈ C(xv) para todo v, entonces x' ∈ C(x).


1 Obviamente, este modelo no solo extiende a Bonnisseau (1997) y a Bonnisseau y Meddeb (1999) sino a todos aquellos a los cuales estos también generalizan como, por ejemplo, Arrow y Debreu (1954) y Bewley (1972) respectivamente.
2 En el caso de que los conjuntos de producción fueren convexos también estos tendrían un interior no vacío. Todo ello redunda en la existencia de un funcional lineal distinto de cero que permite aplicar uno o varios teoremas de separación (Dunford y Schwarz, 1954, pp. 417-18)
3 En lo que sigue hablaremos de correspondencias, funciones multívocas y funciones de conjunto como sinónimos.
4 ba(M, M, μ) que es el dual topológico de L(M, M, μ) = L lo escribiremos también L*. El conjunto S es una manera estándar de normalización de precios en espacios de dimensión infinita y puede verse, entre otros trabajos, en los de Bewley (1972), Bonnisseau y Meddeb (1999), Bonnisseau (2000) y Noguchi (1998)
5 Bajo el supuesto P que veremos más adelante, el conjunto de producciones débilmente eficientes del productor j para cada externalidad z-j, está en la Á-frontera de Yj(z-j).
6 La consideración de función multívoca para expresar el comportamiento del productor es un tema desarrollado en Cornet (1988).
7 Sea, para cada z-i, el conjunto Γ+( z-i) ={( xi, xi´) ∈ Xi(z-i)2 : xi (i , z-i) xi´}}. {( z*-i, xi*, xi´) ∈ Lm+n+1 : (xi*, xi´) ∈ Γ+(z*-i) } pertenece a un conjunto σ(Lm+n-1, L*m+n-1)-abierto de Lm+n+1.
8 Pues tendríamos un conjunto convexo en donde la topología débil coincide con la topología Mackey o topología fuerte entre las localmente convexas y de Hausdorff. Para una definición precisa de la topología Mackey véase Nowak, M. (1989), teoremas 2 y 5. Respecto de la equivalencia de topologías puede consultarse Shcaefer (1971).
9 Excepto, claro está, en lo relacionado a la valoración convexa.
10 En realidad F es equivalente a En, el espacio lineal de n-tuplas ordenadas. Dado que nosotros estamos considerando el campo de escalares reales es que hemos tomado ℜn.
11 Aquí la estructura euclidea sobre F no es la misma que la de ℜn, pero será suficiente con remplazar el vector e = (1, 1, ..., 1) en Bonnisseau (1997) por χM.
12 Sea c = t* - ťj > 0, de modo que t*χM - cχM = t'jχM. Si suponemos que t*χM Yj(zF-j) entonces por el supuesto de libre disponibilidad también t*χM - cχM , lo cual contradice que t'jχM Yj(zF-j).
13 zFr-i está en (LFr+k)m+n-1 completando con ceros en las dimensiones k.
14 Notemos que, como hemos dicho, esto contraste con el caso en donde no se consideran externalidades. Allí XiF XiFr+k siempre. Estamos hablando de aquellos trabajos que siguen la metodología de Bewley (1972).
15 Recordemos que y * son, respectivamente, las topologías métricas (inducidas por la norma) de L y L*.
16 Lo mismo puede decirse del subespacio (F*, σ(L*, L)F*)
17 Este tema lo desarrollamos en el apartado sobre Casos Particulares.
18 Esta desigualdad es ampliamente conocida y puede consultarse en Vulikh, B. (1963) pp. 219.
19 Y esto en virtud del lema 4.2, pues para t0 T, podemos hacer F(t0) = F0.
20 Tengamos presente que estamos considerando el hecho de que ((xiF(t))i=1m, (yjF(t))j=1n, (πF(t)))t(T, ≥) es un equilibrio en εF(t) y que xi´ F(t) (i, zF(t)-i) xiF(t) (véase la nota al pie de página anterior).
21 Aquí ζi´ no es necesariamente el mismo vector que en el párrafo anterior.
22 Observemos que si en lugar de elegir el entorno B(y'; ε/4) que corresponde a la topología de la norma, hubiésemos escogido el entorno U(y') = { y L*: |f,( y) - f,() < ε/4| ∀ iI} correspondiente a la topología débil* habríamos arribado al mismo resultado ya que del anterior entorno se deduce que y - ε/4χM < < y + e/4χM.

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